Թարգմանություն

Այս փոփոխական աշխարհը

Առաջին պարզունակ տպավորությունը, որն առաջացնում են բնական և մատերիական երևույթները, հանդիսանում է ինչ որ բանի անընդհատությունը,  կոնտինենտալությունը.  Եթե մեր առջև ունենք մետաղի կտոր կամ հեղուկի որոշ ծավալ, ապա դա  ստիպում է մեզ պատկերացնել, որ դրանք անսահմանորեն բաժանելի են, և որ նրանց կամայական փոքրիկ մասնիկ ևս օժտված է նմանատիպ հատկություններով:

Դավիթ Հիլբերտ

    Մաթեմատիկայում բոլոր ճանապարհները տանում են Հունաստան:

Այստեղ ես պատրաստվում եմ ներկայացնել անսահման փոքր մեծություններ հասկացության  էվոլուցիան: Վայրը, որտեղ վերջնական ձևավորվեց այս հասկացությունը Արեւմտյան Եվրոպան է, իսկ ժամանակաշրջանը՝ տասնյոթերորդ եւ տասնութերորդ դարերը, սակայն, երբ ես փորձում եմ հետեւել այս գաղափարի ծագմանը, տեսնում եմ մեկ այլ վայր եւ մեկ այլ ժամանակաշրջան: Այսպիսով, մենք կրկին վերադառնում ենք Հին Հունաստան՝ Պլատոնի անմոռանալի օրեր:

    Անսահմանության խնդիրը, ինչպես նաև դրա հետ սերտորեն կապված իռացիոնալության հարցը, ունեն հունական արմատներ: Հենց այստեղ առաջացավ նաև առաջին ճգնաժամը, որոնք նրա պատմության մեջ շատ են: Ճգնաժամը տեղի է ունեցել Պլատոնի ժամանակ, բայց Պլատոնը  չէր դրա նախաձեռնողը: Այս հարցին  նաև ոչ մի կերպ չէին անդրադառնում Հունաստանի այլ ուղղափառ փիլիսոփաներ: Ճգնաժամը առաջադրվել էր մտածողների դպրոցի կողմից, որոնց այդ ժամանակների առաջատար փիլիսոփաները արհամարանքով կոչում էին սոփեստներ:

Ուրիշ կերպ, նրանց անվանում էին էլեացիներ. այդպես ուղղափառ փիլիսոփաներն այս անհասկանալի մարդկանց անվանեցին, ենթադրելով, որ նրանց ուսմունքը կարող է նույնքան անհեթեթ եւ աննշմար լինել, որքան հայրենիքը իրենց կարկառուն ներկայացուցիչների՝ Պարմենիդեսի և Զենոնի: Էլեան, որը գտնվում էր Իտալիայի հարավում, աղքատ հունական գաղութ էր և ըստ Դիոգենես Լայերտացու, «քաղաքը համեստ է և միայն կարող է կրթել քաջարի տղամարդիք»: Թեև հիմա հետադարձ հայացք նետելով, կարելի է պնդել, որ Էլեան դարերում փառավորվել է միայն  սոփեստների շնորհիվ:
«Զենոն Էլիացու փաստարկները,- ըստ Բերտրան Ռասելի, - այս  կամ այն ձևով  շոշափում են իր ժամանակներից մինչ այսօր առաջարկվող տարածության, ժամանակի և անսահմանության թեորիաների գրեթե ողջ հիմնական հասկացությունները»: Այսօր մենք չգիտենք, այս «փաստարկների» մասին պատկերացումը բանավեճերի ընթացքում, թե առանձին գրքի տեսքով են ի հայտ եկել: Միգուցե և՛ այդպես, և՛ այնպես: Պլատոնի «Պարմենիդես»  երկխոսությունից,  այս անհասկանալի թեմայի վերաբերյալ գոյություն ունեցող սակավաթիվ աղբյուրներից մեկից, տեղեկանում ենք Զենոնի և իր ուսուցիչ Պարմենիդեսի Աթենք կատարած այցի մասին: Այստեղ կա հիշատակում նախորդ այցի մասին, որի ընթացքում էլ, պարզվում է, Զենոնը ներկայացրել է իր «Փաստարկները»: Եվ երբ դրանց մասին նրան կրկին հարցնում են, Զենոնը պատասխանում է. 

«Աջակցելով իմ ուսուցչի մոտեցումներին (վեճերի կրքերի ազդեցության տակ), ես երիտասարդ տարիքում գրեցի այս շարադրությունը, բայց,  երբ այն գրվեց, ինչ-որ մեկը  գողացավ ինձանից, այնպես որ ես ստիպված չեղա որոշել, թե այն արժի լույս ընծայել, թե ոչ: {Այսպիսով, քեզնից է դուրս եկել, Սոկրատե՛ս}, որ շարադրանքը դա պատանեկան սիրո դրսևորում է բանավեճերի նկատմամբ, այլ ոչ թե տարեց մարդու բծախնդրություն»:
Ինչպես էլ որ եղած լինի, մենք <<Փաստարկները>> գիտենք միայն Արիստոտելից: Կարո՞ղ էր Ստագիրացի փիլիսոփան դիմադրել գայթակղությանը և չաղավաղել իր մահացած հակառակորդի փաստարկները:
Այս փաստարկները ժամանակակից լեզվով մեկնաբանելը բավական բարդ է: Ոչ թե թարգմանությունների պակասի պատճառով՝ ընդհակառակը. Մեր առջև առաջանում է ընտրության խնդիրը (embarras du choix): Գոյություն ունեն տասնյակ թարգմանություններ և հարյուրավոր վերամշակումներ: Ինչ վերաբերում է մեկնաբանություններին, ապա Սուրբ Գրքի ոչ մի մութ հատվածը մեծ ուշադրության չի արժանացել: Յուրաքանչյուր մեկնաբանություն արտացոլում է հեղինակի սիրած տեսությունը, եւ տեսությունները գրեթե այնքան շատ են, որքան հեղինակները: Ահա Զենոնի չորս փաստարկներ, որը Արիստոտելը տանում է իր «Ֆիզիկայի» մեջ.
Փաստարկ առաջին, երկճյուղում (դիխոտոմիա).
«Առաջին [դատողություն] - շարժման գոյություն չունենալու մասին է այն հիմնավորմամբ, որ շարժվող մարմինը պետք է հասնի մինչեւ կեսը, հետո նոր վերջը»:

Փաստարկ երկրորդ, Աքիլեսը և կրիան.
«Երկրորդ [հիմնավորումը] -  այսպես կոչված, «Աքիլես»: Այն կայանում է նրանում, որ ամենադանդաղ [արարածը] երբեք չի կարող հասնել մրցավազքում ամենաարագին, քանի որ հետապնդողին անհրաժեշտ է տեղափոխվել այնտեղ, որտեղից շարժվել է վազորդը, այնպես որ, ավելի դանդաղը միշտ պետք է որոշակի տարածությունով հետ մնա հետապնդողից։

Փաստարկ երրորդ, Նետ:

«Если всегда всякое [тело] покоится, когда оно находится в равном [себе месте], а перемещающееся [тело] в момент “теперь” всегда [находится в равном себе месте], то летящая стрела непод­вижна».

«Միշտ երբ որևէ [մարմին] գտնվում է հանգստ վիճակում, երբ այն գտնվում է հավասար է [իր տեղում, իսկ շարժվող [մարմինը] այդ պահին« հիմա » միշտ [գտնվում է իր համար հավասար տեղում,ապա թռչող նետը  անշարժ է»:

Փաստարկ չորրորդ, մարզադաշտ:

«Չորրորդ [փաստարկը] վերաբերում է հավասար առարկաներին, որոնք շարժվում են մի մրցուղով իրար ընդառաջանցնելով անշարժ առարկաների կողքով. Առաջինները [շարժվում են] մարզադաշտի վերջից, իսկ մյուսները մեջտեղից,ունենալով հավասար արագութուն, որտեղ, իր կարծիքով, կստացվի, որ ժամանակի կեսը հավասար էնրա կրկնակի քանակին »:

(Սա սովորաբար մեկնաբանում են հետեւյալ կերպ. խոսք է գնում երկու հավասար քանակով մարդկանց շարքերի մասին, որոնք  շարժվում են հավասար արագությամբ, իրար զուգահեռ և հակառակ ուղղություններով: Զենոնը պնդում էր, որ այն ժամանակը, որը անհրաժեշտ է, որ այդ երկու խմբերը անցնեն իրար կողքով հավասար է այն ժամանակի կեսին ինչ անհրաժեշտ է մեկ մարդուն, որպեսզի նա անցնի բոլոր շարքերի կողքով:

Նրանք, ովքեր հակված են մետաֆիզիկային,  «Փաստարկներում» տեսնում են շարժման հնարվորության հերքում: (Շարժում չկա, ասաց իմաստուն մորուսավորը, մյուսը լռեց և սկսեց նրա դիմաց քայլել, ուժեղ է նա, չէր կարող հակառավել…Ա.Ս. Պուշկին):  Ուրիշները, ինչպես պատմաբան Տաններին, ասում են, որ Զենոնը նման մտադրություն չի ունեցել: Ընդհակառակը, նա օգտվել է շարժման գոյության անհեքելիությունից, որպեսզի ցույց տա աղաղակող հակասությունները մեր երկայությանը  տիեզերական, ժամանակի և անընդհատության: Այս գաղափարին է հակված նաև Անրի Բերգսոնը, ով կարծում է, որ «հակասությունները,  որոնք մատնանշում են էլիացիների դպրոցը, վերաբերվում են ոչ այնքան շարժմանը որպես այդպիսին, այլ նրա արհեստական փոխակերպմանը, ինչը ձևավորում է մեր միտքը»:

Այս տեսանկյունից, «փաստարկների» արժեքը  կայանում է նրանում, որ նրանք համոզիչ կերպով ցույց են տալիս մաթեմատիկայի տեղը մարդկային մտածելակերպի ընդհանուր կառուցվածքում: «Փաստարկները» ցույց են տալիս, որ տարածությունը, ժամանակը եւ շարժումը, որոնք ընկալվում ենք մեր զգայարաններով (կամ, ժամանակակից ընկալմամբ, մեր զգացողությունները ընդլայնող գիտական ​​գործիքների միջոցով), ոչ ամբողջովին են համընկնում նույնանուն մաթեմատիկական գաղափարներ հետ: Հարցերը, որոնք դնում է Զենոնը, չի անհանգստացնում մաթեմատիկային, քանի որ նրանք ցույց  չեն տալիս տրամաբանության հակասության, այլ միայն ցույց են տալիս լեզվի երկիմաստությունը: Մաթեմատիկոսը կարող ազատվել այդ  ոչ միանշանակությունից, ենթադրելով, որ նշանների աշխարհը, որտեղ նա ստեղծագործում է, նույնական չէ աշխարհին իր զգացողությունների հետ:

Այս կերպ, ենթադրվաց հատկությունները անմիջապես առաջանում են երկրաչափի կամքից։ Նա գիտակցաբար հաշվի չի առնում լայնությունը և հաստությունը, գիտակցաբար ենթադրում է, որ երկու ուղիղների ընդհանուր կետը, կետը որտեղ նրանք հատվում են չունի ոչ մի չափ։ Ցանկանալով օգտագործել հանրահաշվի օրենքները այս Երկրաչափական արարածների նկատմամբ, թուլ է տալիս անվերջանալի գործընթացների հիմնավորվածությունը, որտեղ անվերջ բաժանելիութունը մի հատված է, դիխոտոմիա, միայն մի անհատական դեպք։ Դասական երկրաչափությունը այս ենթադրությունների տրամաբանական հետևանքն է, բայց հենց իրենք ենթադրությունները կամայական են, լավագույն դեպքում մտքով համապատասղան։ Մաթոմատիկոսը կարող է մերժել դասական դրույթները, մեկը կամ միանգամից բոլորը, և փոխարինի դրանք նոր ենթադրություններով։ Հաճաղ նա կարող է վերցնել նոր տարրեր՛ հատված և տարածքը, որոնք ընհանուր են երկու հատվածների համար էլ, անվանելով դրանք գծեր և կետեր, կառուցել նոր երկրաչափություն, ամբողջությամբ տարբերվող դասական ուսմունքից, բայց նույն քան հետեւողական և նույնքան արդյունավետ։

Բայց ֆիզիկոսի կամ ինժեների գործնական տեսանկյունից, ոչ բոլոր նմանատիպ համակարգերը հավասարապես ընդունելի են: Գործնական մարդը առնվազն իրականության կարիքն ունի: Նա միշտ աշխատում է կոնկրետ օբեկտների հետ եւ հետեւաբար նա դիտում է մաթեմատիկական տերմինները ոչ թե որպես սիմվոլների կամ մտահաղացումներ, այլ որպես իրականության պատկեր: Համակարգը, որն ընդունելի է մաթեմատիկոսին իր հետեւողականության աստիճանի չափով, կարող է թվալ, որ գործնականում լռիվ «հակասական», քանի որ նա լիովին չի արտացոլում իրական աշխարհը:

Կարող է տարորինակ թվալ, բայց հիմնականոմ պրակտիկներին ե վերաբերում «Փաստարկերը», Քննադատելով մաթեմատիկայի կիրառման վավերությունը ֆիզիկական իրականությունում: Բարեբախտաբար, պրակտիկները հազվադեպ են հետաքրքրվում «փաստարկներով»:

Զենոնի Փաստարկների պատմական կարևորությունը գերագնահատել անհնար է։ Գոնե այն պատճառով վոր նրանք օգնել են հույներին նորովի ձևակերպել ժամանակի հասկացության հանդեպ իրենց ունեցած պատկերացումները։

Ինչի մասին է խոսում ըստ էության  Զենոնը իր առաջին արգումենտում ՞․ Վազող մարդը, նախքան վերջնակետին հասնելը նախ պետք է անցնի չանապարհի կեսից, իսկ դրան հարկավոր է որոշակի ժամանակ։ Այդպես էլ նա պետք է հասնի մնացաց ճանապարհի կեսին, ինչը ևս որոշակի ժամանակ է պահանջում։ Հիմա էլ, միշտ հնարավոր է կրկնել այն ինչ ասվել էր սկզբում։ Վազքի մարզասարքի վրա վազորդի շարժվելը բաղկացաց է անվերջանալի քանակությամբ հատվածներից և յուրաքանչյուր հատվածի հաղթահարման համար անհրաժեշտ է որոշակի ժամանակ։ Բայց անվերջանալի քանակությամբ վերջավոր միջակայքների ընդհանուր գումարը նույպես անվերջ է։ Նշանակում է, որ վազորդը երբեք չի հասնի իր նպատակին։

«Ժամանակը և տարածությունը կարելի է բաժանել միևնույն, իրար հավասար ակնթարթների։ Այդ պատճառով, Զենոնի թյուր կարծիքը, որտում ենթադրվում էր, որ անհնար է անցնել անսահման քանակի օբյեկտներով կամ շոշափել նրանցից յուրաքանչյուրին վերջնական ժամանակի ընթացքում․ Ի վերջո, երկարությունը եւ ժամանակը եւ, ընդհանրապես, ամբողջ շարունակականությունը կոչվում են անսահման, երկու իմաստով `կամ բաժանման կամ քանակի առումով: Եվ այսպես, անվերջությանը քանակական առումով չի կարելի դիտարկել որոշակի ժամանակահատվածում, իսկ անվերջությանը բաժանելիության առումով— հնարավոր է, քանի որ ժամանակը անվերջ է հեց այդ իմաստով»:

Այսպիսով, վերջնական եզրահանգումը առաջին երկու փաստարկների (երկրորդ փաստարկը, - դա պարզապես առաջինի սրամիտ վերարտադրումն է) կայանում է նրանում, որցհի կարելի խոսել  տարածության դիխոտոմիայի մասին, միեւնույն ժամանակ խուսափելով նրա, Ժամանակային դիխոտոմիայից։ Բայց դա շատ դժվար է հասկանալ: Բաժանումն ուղակիորեն այնքան էլ հեշտ չէ պատկերացնել, մենք կարող ենք հեշտությամբ  իրականացնել այն` փայտը կտրելով կամ ուղղակի գծանշելով: Բայց «ժամանակի գծանշումը» - դա ուղակի ասացվածք  է;  Ժամանակը դա այն է, ինչի նկատմամբ  մենք չենք կարող փորձարկումներ կատարել: դա կամ ամբողջովին անցյալում է կամ  ապագայում: Ժամանակի բաժանումը միջակայքների, դա ընդամենը հույների մտքի ածխատանքը, ինչպես մեր մտքի գործողոըթյունները:

Ժամանակին տալով անվերջ բաժանելիության հատկություն, դա համարժեք է ժամանակի՝ ներկայացված երկրաչափական ուղղանկյան տեսքով, նույնականացնելով տեվողության և չափին։ Դա առաջին քայլն է մեխանիկայի երկրաչափականացմանը։ Այսպիսով Զենոնի առաջին փաստարկը դեմ է այն սկզբունքին, ինչի վրա հիմնված է հավանականության տեսության ժամանակակից քառաչափ աշխարհը։

Իրական հարված հասցնում են վերջին երկու փաստարկները, կարծես Զենոն կանխագուշակել էր իր հակառակորդներին պաշտպանվելու եղանակները եւ պատրաստ էր նրա: Չորրորդ փաստարկը, որը վերաբերում է  համեմատականության բուն էության, մենք հիմա չենք քննարկի: Հենց երրորդ փաստարկն է համոզիչ ցոյց տալիս հսկայական անդունդը շարժման միջեւ, մեր կողմից ընկալվող եւ մաթեմատիկական ենթադրություններով, թաքնված այդ նույն անվան տակ։

Տեսնենք , թե ինչպիսի հակառակ ապացույցների է տանում Զենոնը.

«Դուք ասում էք, որ եթե տարածքը բաղկացած է սահմանային կետերի անսահմանությունից, ապա ժամանակն ընդամենը սահմանային պահերի համախումբ է: Հիանալի է։ Այժմ դիտարկենք սլաքը թռիչքի ժամանակ: Ժամանակի յուրաքանչյուր պահի ավարտը նրա ճանապարհի վրա որոշակի տեղ է գրավում: Բայց քանի որ նա զբաղեցնում է այդ դիրքը, ապա նա այդ դիրքում պետք է գտնվի հանգիստ վիճակում: Ինչպես կարող է որևէ կետ լինել անշարժ և շարժվել միաժամանակ՞ »:

Մաթեմատիկոսy այս փաստարկը վերացնում է կամայական որոշմամբ: Շարժում՞:  Ինչն է շարժումը;- այն պարզապես դիրքի եւ ժամանակի միջեւ հաղորդակցությունն է: Փոփոխականների միջեւ նման համատեղությունը կոչվում է ֆունկցիա: Շարժման օրենքը ինքնին ֆունկցիա է, որը բոլոր շարունակական գործառույթների նախատիպն է համարվում: Ոչնչով էականորեն չի տարբերվում այն դեպքը, երբ մենք ունենք գլան լցված գազով և մխոց, որը կարող է ազատ սահել գլանի ներսում: Պոմպի յուրաքանչյուր հնարավոր դիրքին համապատասխանում է մղոցի մեջ որոշակի ճնշմանը: Որպեսզի ստանանք ճնշման արժեք որոշակի դիրքերին  համապատասխան մենք կարող ենք կանգնեցնել մխոցը այդ դիրքում և չափել ճնշումը:

Բայց արդյոք սա լիակատար նմանություն է շարժվող մարմնի հետ: Կարող ենք արդյոք ցանկացած պահի դադարեցնել նրան, չվոչնչացնելով շարժումը, որը մենք տեսնում ենք: Իհարկե ոչ: Իսկ ինչ ենք հասկանում ասելով շարժվող մարմին, որը զբաղեցնում որոշակի դիրք, ժամանակի որոշակի պահի դրությոմբ՞ : Մենք նկատի ունենք որ, թեև մենք չենք կարող պատկերացնել ֆիզիկական գործողություն որով մենք կարող ենք դադարեցնել նետի թռիչքը, առանց ընդհատելու այն, սակայն ոչինչ չի  խանգարում մեզ մտավոր պատկերացնել  այդ գործողությունը։ Բայց միակ իրականություն, որը թաքնված հետեւում, դա այն է, որ կարելի է պատկերացնել մեկ այլ նետ որը գտնվում է անշարժ վիճակում, այդ կետում և ժամանակի այդ հատվածում։

Մաթեմատիկական շարժումը, - սա ոչ այլ ինչ է, քան հանգիստ վիճակի, անսահման հաջորդականությամը, այսինքն, մաթեմատիկան մոտեցնում է դինամիկան ստատիկայի բաժնին: Այն սկզբունքը, որով այս անցումը կարող է իրականացվել, առաջին անգամ ձևավակերպվել է Դ'Ալամբե-ռոմ տասնութերորդ դարում: Отождествление движения с последовательностью смежных состояний покоя, в каждом из которых движущееся тело находится в равновесии, на первый взгляд кажется абсурдным. Но движение, состоящее из состояний неподвижности, не более и не менее абсурдно, чем отрезок, состоящий из точек, не имеющих длины, или время, состоящее из моментов, лишенных длительности.

Այսպիսով, այս Աբստրակցիան, նույնիսկ իրական շարժման շրջանակը չէ, որոնք ընկալում են մեր զգայարանները: Երբ մենք տեսնում ենք թռչող գնդակ, մենք ընկալում ենք շարժումը ամբողջությամբ, այլ ոչ թե անվերջ փոքր շարժումների հաջորդականություն: Բայց մաթեմատիկական ուղիղը նույնպես ճշմարիտ չէ կամ գոնե պատշաճ կերպով չի ներկայացնում ասյս շղթան։ Մարդուն շատ երկար ժամանակ սովորեցնում էին օգտագործել այս հորինվացքները, որ նա նախընտրում է դրանք փոխարինել իսկական երեւույթներով:

հունական գիտությանների Հետագա զարգացումը հստակ ցույց է տալիս, թե որքան ուժեղ էր ճգնաժամի ազդեցությունը՝ առաջացած Զենոնի «փաստարկների» հետեւանքով, հույների մաթեմատիկական մտքի վրա:

Մի կողմից, այս ճգնաժամը նշանավորեց սոֆիստների դարաշրջանի սկիզբը: Դա բնական ռեակցիա էր Պիֆագորականների անհիմն դատարկախոսությունների նկատմամբ, իրենցից ներկայացնելով մի տարօրինակ խառնուրդ մաթեմատիկական գաղափարների և կրոնական կարգախոսներ միջև եւ անորոշ մետաֆիզիկական հիմնավորումեր: նրանց հետ ինչպիսի կտրուկ հակադրություն է ներկայացնում շարադրության խստությունը Էվկլիդեսի «տարրեր» գրքում  , որն այսօր էլ հանդիսանում է մաթեմատիկական կարգապահության չափանիշ։

Մյուս կողմից, «Փաստարկները» հույն մտավորականների  մոտ առաջացրեցին վախ անվերջության նկատմամբ (horror infiniti), որը հաճախակի պարալիզացնում էր նրանց ստեղծագործ երևակայությունը։ Անվերջությունը արգելված էր, նրանից հարկավոր եր զգուշանալ; իսկ եթե նրանից խուսափել չի ստացվում, քողարկել հակառակի և նմանատիպ այլ բանեների մասին հիմնավորումներով։ Այդպիսի պայմաններում ոչ միայն հնարավոր չէր ստեղծել դրական տեսություն անվերջության մասին, այլ նույնիսկ անվերջ գործողությունների զարգացման ընթացքում, որոնք ժամանակին որոշակի հաջողությունների են հասել, նախորդող Պլատունին, դադարեցված էին։ 

Հին հունաստանամ մենք կգտնենք մի շարք բարենպաստ հանգամանքներ՝ բազմաթիվ հանճարեղ մաթեմատիկոսներ, ինչպիսիք են՝ Էվդոքսը, Արիստարխ, Էվկլիդես, Արքիմեդ, Ապոլլոն, Դիոֆանտես և Պապպ; Հիասքանչ ավանդույթներ, որոնք ընդլայնում էին ստեղծագործելու պայմանները և տեսական միտքը, միևնույն ժամանակ պահպանելով քննադատական ոգին, որը պաշտպանում էր հետազոտողներին  ինքնասիարական երևակայության դավերից; և վերջապես սոցիալական ստրուկտուրան՝ ամենա բարենպաստն է անգործ դասակարգի զարգացման համար, որը կնպաստեր մտավորականների անընդհատ ներհոսքին, ովքեր կարող են ինց նվիրել նոր գաղափարների որոնմանը, ուծադրություն չդարձնելուվ որ կարող էին անմիջականորեն օգտակար լինել։

Իսկապես, հանգամանքների այդպիսի համատեղությանը, հնարավոր չէ գերազանցել նույնիսկ մեր օրերում։ Բայց հույն մաթոմատիկոսները կանգ առան թերի հանրահաշվի վրա, ի դեմս Դիոֆանտի; կանգ առան համեմատական երկրաչափությունում, ի դեմս Ապպոլոնիայի; հեռուն չեն գնացել անվերջ փոքրի վերլուծությունում, ի դեմս Արքիմեդի։ Ես արդեն ցույց եմ տվել, թե ինչպես սիմվոլային գրությունների բացակայությանը խանգարում էր մաթոմատիակյին։ Անվեջանալիության վախը ևս նույնչափ հետ պահող հանգամանք էր։

Սպառման մեթոդում, որը մշակել է Արքիմեդը, կան այն բոլոր անհրաժեշտ տարրերը, որոնք կարևոր են անվերջ փոքրի վերլուծության համար։ Ինչ վերաբերում է ժամանակակից անլիզին, ապա այն ընդհամենը անվերջ գործընթացների տեսություն է, որի հիմքում ընկած է սահմանափակության գաղափարը։ Այս հասկացության ճշգրիտ ձևակերպումը ես թողնում եմ մինչև հաջորդ գլուխը։ Իսկ այստեղ կարելի է ընդամենը ասել որ, սահմանափակության գաղափարը՝ որը առաջերկել էր Արքիմեդը; համնկնում էր Նյուտոնի և Լեյբիցեմի մաթեմատիկական անալիզի զարգացման գաղափարհի հետ; և այդ գաղափարը մնում էր պրակտիկորեն անփոփող վիճակում մինչև Кантора и Вейерштрасса. Ժամանակները։ իրականում սահմանների հաշվարկը հիմնված է հետևյալ գաղափարի վրա, որ երկու մեծություններ ձգտում են հավասարության, եթե նրանց միջև տարբերությունը կարող է լինել ինչքաան հնարավոր է փոքր։ ԵՎ հենց այս գաղափարն է ընկաց Սպառման մեթոդի հիմքում։

Ավելին, այս սկզբունքը ապահովում է սահմանի որոշման գործնական մեթոդ, բաղկացած սահմանափփակ փոփոխական մեծություններով վերևից և ներքևից երկու ուրիշ փոփոխականներով, այնպես որ նա կարծես սեղմվաց է երկու կողմից։ Այսպես օրինակ, շրջանագծի երկառության դեպքում, ինչի մասին ես արդեն խոսել եմ, Արքիմեդը «Սեղմեց» շջանի երկարությունը երկու հաջորդական կանոնավոր բազմանկյուններով մոծացող կողմերի քանակությունով, որոնցից առաջին հաջորդականությունը составляли вписанные в окружность многоугольники, а другую — описанные вокруг нее։ Եվ ինչպես արդեն ասվել էր նախքինում, այդ մեթոդի օգնությամբ նրան հաջողվեց ցույց տալ, որ թիվը թաքնված է արժեքների միջև։ Այդպես էլ այս մեթոդի օգնությամբ նա հաշվարկեց, որ պարաբոլի  մակերեսը հավասար է նույն բարձրությամբ և նույն որկարությամբ ուղղանկյան մակերեսի երկու երորդին։ Այս խնդիրը ժամանակակից ինտեգրալային հաշվարկների «նախնին» է։

Արդարության համար անհրաժեշտ է ասել, որ Արքիմեդը անվեջ փոքր մեծությունների վերլուծության հիմնադիրն էր։ Համեմատած ինտեգրալային հաշվարկներին տասնութերորդ դարում սպառման մետոդին չբավականեցրեց համապատասղան նշանակության սինվոլներ, և դրական, ես կասեի նույնիսկ միամիտ վերաբերմունք անվերջությանը։ Հույներից ոչ մեկ չհետևեց Արքիմեդին, և հնարավորությունը հետազոտելու հարուստ տարածքները, մեծագույն վարպետի բացահայտումները գանգնեցվել էին մյուս ժամանակահատվածում։ Երբ հազարամյա քարացումից հետո եվրոպական միթքը ցնցվեց այն քնեցնող ազդեցությունից, որն այդքան վարպետորեն ներշնչում էին եկեղեցական հայրերը, աննվերջության հարցը դարդզավ առաջիններից մեկը, որի վրա կրկին ուշադրություն դարձվեց։