Հեղինակային մանկավարժական ծրագրով աշխատող դասավանդողի առաջադրանքը ատեստավորվելու համար

Հեղինակային մանկավարժական ծրագրով աշխատող դասավանդողի առաջադրանքը ատեստավորվելու համար

• Սեփական ստեղծած ուսումնական նյութերից ընտրել տասը հատ և հղումները ուղարկել
• Գրել հոդված «Դպիրի» համար՝ «Մաթեմատիկայի դասավանդման իմ փորձից» կամ մոտ վերնագրով
• Թարգմանել ստորև բերված տեքստը

ГЛАВА 7

ЭТОТ НЕУСТОЙЧИВЫЙ МИР

Первым наивным впечатлением, производимым яв­лениями природы и материей, является впечатление чего-то непрерывного, континуального. Если мы имеем перед собою кусок металла или некоторый объем жид­кости, то нам навязывается представление о том, что они неограниченно делимы, что сколь угодно малый кусок их опять-таки обладает теми же свойствами.

Давид Гильберт

В математике все пути ведут в Грецию.

Здесь я собираюсь рассказать об эволюции понятия бесконеч­но малых величин. Место, где эта концепция окончательно сло­жилась, — Западная Европа и время — семнадцатое и восемнадца­тое столетия, но когда я пытаюсь проследить зарождение этой идеи, я вижу другое место и другое время. Итак, мы снова возвращаемся в древнюю Грецию, в незабвенные дни Платона.

Проблема бесконечности, как и близко связанный с ней во­прос об иррациональности, выросла на греческой почве. Там же произошел и первый кризис, которых в ее истории было множе­ство. Кризис случился во времена Платона, но не Платон был его инициатором. Также и другие ортодоксальные философы Греции никак не затрагивали этот вопрос. Кризис был вызван школой мыслителей, которых ведущие философы того времени презрительно называли софистами.

По-другому их также называли элеатами; так ортодоксаль­ные философы заклеймили этих малопонятных людей, подразу­мевая, может быть, что их учения были так же нелепы и нич­тожны, как родина их основных представителей, Парменида и Зенона. Элея была бедной греческой колонией на юге Италии, по словам Диогена Лаэртского, «город скромный и умеющий лишь воспитывать доблестных мужей». Хотя сегодня, оглядыва­ясь назад, мы можем сказать, что Элею прославили в веках только лишь софисты.

«Аргументы Зенона из Элеи, - по словам Бертрана Рассела, - в той или иной форме затрагивают основания почти всех теорий пространства, времени и бесконечности, предлагавшихся с его времени до наших дней». Сегодня мы не знаем, были представ представ­лены эти «Аргументы» в процессе дискуссий или появились в виде отдельной книги. Возможно и так и так. Из диалога Плато­на «Парменид», одного из немногих имеющихся источников по этому неясному предмету, мы узнаем о визите в Афины Зенона вместе со своим учителем Парменидом. Там есть указание на их предыдущий визит, во время которого, оказывается, Зенон и пред­ставил свои «Аргументы». И когда его вновь о них спрашивают, Зенон отвечает:

«Поддерживая рассуждение моего учителя [под влиянием стра­сти к спорам], я в молодости и написал это сочинение, но, когда оно было написано, кто-то его у меня украл, так что мне не пришлось решать вопрос, следует ли его выпускать в свет или нет. [Таким образом, от тебя ускользнуло, Сократ,] что сочине­ние это подсказано юношеской любовью к спорам, а вовсе не честолюбием пожилого человека».

Как бы то ни было, мы знаем «Аргументы» только от Аристо­теля. Смог философ из Стагира устоять перед искушением и не исказить аргументы своего умершего оппонента?

Интерпретация этих аргументов на современном языке доста­точно сложна. Не из-за недостатка переводов - как раз наобо­рот; перед нами возникает embarras du choix — проблема выбора. Существует пара десятков переводов и сотни пересказов. А что касается интерпретаций, то никакой темный отрывок Священ­ного Писания не удостаивался большего внимания. Каждая из интерпретаций отражает любимую теорию автора, и теорий по­чти так же много, как и авторов. Вот четыре аргумента Зенона, которые Аристотель приводит в своей «Физике»:

Аргумент первый, Дихотомия:

«Первое [рассуждение] — о несуществовании движения на том основании, что перемещающееся тело должно дойти до полови­ны прежде, чем до конца».

Аргумент второй, Ахиллес и черепаха:

«Второе [рассуждение] — так называемый «Ахиллес»: оно со­стоит в том, что самое медленное [существо] никогда не сможет быть настигнуто в беге самым быстрым, ибо преследующему не­обходимо прежде прийти в место, откуда уже двинулось убегаю­щее, так что более медленное всегда должно будет на какое-то [расстояние] опережать [преследующего]».

Аргумент третий, Стрела:

«Если всегда всякое [тело] покоится, когда оно находится в равном [себе месте], а перемещающееся [тело] в момент “теперь” всегда [находится в равном себе месте], то летящая стрела непод­вижна».

Аргумент четвертый, Стадион:

«Четвертое [рассуждение] относится к равным предметам, дви­жущимся по ристалищу с противоположных сторон мимо рав­ных [неподвижных] предметов: одни [движутся] с конца риста­лища, другие от середины, имея равную скорость, откуда, по его мнению, получается, что половина времени равна ее двойному количеству». V

(Обычно это интерпретируют следующим образом: Речь идет о двух равных по дайне колоннах людей, движущихся параллель­но с равной скоростью в противоположных направлениях. Зенон утверждает, что время, за которое колонны пройдут друг мимо друга, составляет половину времени, нужного одному человеку, чтобы пройти мимо всей колонны. - Прим. пер.)

Те, кто склонен к метафизике, видят в «Аргументах» опровер­жение возможности движения. (Движенья нет, сказал мудрец бра- датый, Другой смолчал и стал пред ним ходить, Сильнее он не мог бы возразить... А.С. Пушкин. — Прим. пер.) Другие, как исто­рик Таннери, говорят, что Зенон не имел такого намерения. На­против, он воспользовался неоспоримой реальностью движения, чтобы указать на вопиющие противоречия, присущие нашим пред­ставлениям о пространстве, времени и непрерывности. Близок к этой мысли и Анри Бергсон, который считает, что «противоре­чия, на которые указывает школа элеатов, касаются не столько самого движения как такового, как того искусственного преоб­разования движения, которое совершает наш разум».

С этой точки зрения, ценность «Аргументов» заключается именно в том, что они убедительно показывают положение, ко­торое занимает математика в общей структуре человеческих зна­ний. «Аргументы» демонстрируют, что пространство, время и движение, воспринимаемые нашими органами чувств (или, в совре­менном понимании, научными инструментами, расширяющими и дополняющими наши чувства), не полностью аналогичны ма­тематическим понятиям с теми же названиями. Вопросы, кото­рые ставит Зенон, не встревожат математика, так как они не ука­зывают на логическое противоречие, но лишь на полнейшую двусмысленность языка. Математик может избавиться от этих не­однозначностей, допуская, что мир символов, в котором он тво­рит, не идентичен миру его чувств.

Таким образом, предполагаемые свойства прямой возникают по произволу геометра. Он сознательно не принимает во внима­ние толщину и ширину, сознательно полагает, что общая точка двух прямых, точка их пересечения, не имеет никаких размеров. Желая применить законы арифметики к этим Геометрическим сущностям, он, как мы увидим, допускает обоснованность бес­конечных процессов, среди которых бесконечная делимость от­резка, дихотомия, только один частный случай. Классическая гео­метрия является логическим следствием этих предположений, но сами предположения являются произвольными, в лучшем случае удобным домыслом. Математик может отвергнуть классические постулаты, один или сразу все, и заменить их на новый набор предположений. В частности, он может взять новые элементы: полосу и площадь, общую для двух полос, и, назвав эти элементы линиями и точками, построить новую геометрию, полностью от­личающуюся от классического учения, но такую же непротиво­речивую и, возможно, такую же плодотворную.

Но с практической точки зрения физика или инженера, не все такие системы являются в равной степени приемлемыми. Челове­ку практики требуется хотя бы видимость реальности. Он всегда работает с конкретными объектами и поэтому рассматривает ма­тематические термины не как символы или измышления, а как образ реальности. Система, приемлемая для математика в силу сво­ей непротиворечивости, может показаться практику полной «про­тиворечий», так как она не в полной мере отражает реальный мир.

Может показаться странным, но именно практиков в значи­тельной степени касаются «Аргументы», подвергающие критике обоснованность применения математики к физической реально­сти. К счастью, практики редко интересуются «Аргументами».

Историческую важность «Аргументов» Зенона переоценить не­возможно. Хотя бы потому, что они заставили греков сформиро­вать новое отношение к понятию времени.

Что, по сути, говорит Зенон в своем первом аргументе? Бегу­щий человек, прежде чем достигнет своей цели, должен достичь середины пути, и на это потребуется конечное время. Также он должен сначала достичь половины оставшегося, и на это также потребуется конечное время. Теперь то, что было сказано раньше, всегда можно повторить. Перемещение бегуна по беговой дорож­ке состоит из бесконечного количество отрезков, и на преодоле­ние каждого из них требуется конечное время. Но сумма беско­нечного количества конечных интервалов бесконечна. Значит бегун никогда не достигнет своей цели.

Вот что говорит Аристотель по поводу первого аргумента:

«Время и пространство можно разделить на одни и те же, рав­ные между собой промежутки. Поэтому ошибочно рассуждение Зенона, в котором предполагается, что невозможно пройти бес­конечное множество предметов или коснуться каждого из них в конечное время. Ведь длина и время и вообще все непрерывное называются бесконечными в двояком смысле: или в отношении деления, или'в отношении количества. И вот, бесконечного в количественном отношении нельзя коснуться в конечное время, а бесконечного в отношении деления — можно, так как само время бесконечно именно в таком смысле».

Таким образом, конечный вывод из первых двух аргументов (второй аргумент — это просто остроумный пересказ первого) заключается в том, что нельзя говорить о дихотомии простран­ства, не допуская вместе с тем дихотомию времени. Но именно это понять очень сложно! Делимость прямой представить себе лег­ко: мы можем без труда реализовать это, разрезая палку или раз­мечая прямую. Но «разметка времени» — это просто оборот речи: время - это то, над чем мы не можем экспериментировать; оно либо все в прошлом, либо все в будущем. Разделение времени на интервалы — просто действие разума греков, как и действие наше­го разума.

Придание времени свойства бесконечной делимости эквива­лентно представлению времени в виде геометрической прямой, отождествлению длительности и протяженности. Это первый шаг к геометризации механики. Таким образом, первый аргумент Зе­нона направлен против принципа, на котором построен четы­рехмерный мир современной теории относительности.

Настоящий удар наносят последние два аргумента, как будто Зенон предвидел способ защиты своих оппонентов и подгото­вился к нему. Четвертый аргумент, касающийся самой сути про­блемы относительности, сейчас мы обсуждать не будем. Именно третий аргумент убедительно демонстрирует зияющую пропасть между движением, воспринимаемым нашими чувствами, и мате­матическим вымыслом, скрывающимся под тем же названием.

Послушаем, какие контрдоказательства приводит сам Зенон:

«Вы говорите, что раз пространство состоит из бесконечности соприкасающихся точек, то и время — это просто бесконечная совокупность соприкасающихся моментов. Прекрасно! Теперь рас­смотрим стрелу в полете. В каждый момент времени ее конец занимает определенную точку на ее пути. Но раз она занимает это положение, значит, он должен находиться в покое в этом по­ложении. Как некоторая точка может быть неподвижной и нахо­диться в движении одновременно?»     '

Математик устраняет этот аргумент волевым решением. Дви­жение? Ну и что, движение — это просто соответствие между положением и временем. Такое соответствие между переменны­ми он называет функцией. Закон движения не что иное, как про­сто функция, которая является прототипом всех непрерывных фун­кций. Ничем, по существу, не отличается случай, когда у нас есть цилиндр, наполненный газом и снабженный поршнем, который может свободно скользить внутри цилиндра. Каждому возмож­ному положению поршня соответствует определенное давление внутри цилиндра. Чтобы получить значение давления, соответ­ствующее какому-то положению, мы можем остановить поршень в этом положении и измерить давление.

Но точно ли это полная аналогия с движущимся телом? Мо­жем ли мы остановить его в любой момент, не уничтожая само движение, которое мы наблюдаем? Конечно, нет! Что тогда мы подразумеваем под движущимся телом, занимающим определенное положение в определенный момент времени? Мы подразумеваем, что, хотя мы не можем представить себе физический способ ос­тановить стрелу в полете, не прервав при этом сам полет, ничто не запрещает нам сделать это с помощью действия разума. Но единственная реальность, скрывающаяся за этим действием ра­зума, заключается в том, что можно вообразить другую стрелу как неподвижную в этой точке и в этот момент времени.

Математическое движение — это ничего более как бесконечная последовательность состояний покоя, то есть математика сводит динамику к разделу статики. Принцип, с помощью которого мож­но выполнить этот переход, впервые был сформулирован д’Аламбе- ром в восемнадцатом веке. Отождествление движения с последо­вательностью смежных состояний покоя, в каждом из которых движущееся тело находится в равновесии, на первый взгляд ка­жется абсурдным. Но движение, состоящее из состояний непод­вижности, не более и не менее абсурдно, чем отрезок, состоя­щий из точек, не имеющих длины, или время, состоящее из моментов, лишенных длительности.

Значит, эта абстракция даже не каркас реального движения, воспринимаемого нашими чувствами. Когда мы видим летящиймяч, мы воспринимаем движение в целом, а не как последова­тельность бесконечно малых рывков. Но математическая прямая также не является истинным или хотя бы подходящим представ­лением проволоки. Человека так долго приучали использовать эти вымыслы, что он предпочитает заменять ими подлинные яв­ления.

Последующее развитие греческой науки ясно показывает, на­сколько сильным было влияние кризиса, вызванного «Аргумен­тами» Зенона, на математическую мысль греков.

С одной стороны, этот кризис ознаменовал начало эры софи­стики. Это была естественная реакция на безыскусное пустосло­вие пифагорейцев, представлявшее собой странную смесь мате­матических идей с религиозными лозунгами и неопределенными метафизическими рассуждениями. Какой резкий контраст с ними составляет чеканная строгость изложения в книге Евклида «Эле­менты», которая и в наши дни является эталоном в математичес­ких дисциплинах.

С другой стороны, «Аргументы» посеяли в умах греческих гео­метров страх бесконечности (horror infiniti), который частично парализовал их созидательное воображение. Бесконечное было под запретом, его следовало остерегаться во что бы то ни стало; а если уж избежать его не удалось, маскировать рассуждениями от противного и тому подобными. В таких условиях не только было невозможно создать позитивную теорию бесконечного, но даже и развитие бесконечных процессов, которое достигло некоторых успехов во времена, предшествовавшие Платону, было приоста­новлено.

В Древней Греции мы обнаруживаем сочетание самых благо­приятных обстоятельств: ряд гениальных математиков, таких как Евдокс, Аристарх, Евклид, Архимед, Аполлоний, Диофант, Папп; замечательные традиции, которые поощряли созидательные уси­лия и теоретическую мысль и в то же время поддерживали кри­тический дух, предохранявший исследователей от подвохов чес­толюбивого воображения; и наконец, социальная структура, наи­более благоприятная для развития праздного класса, обеспечи­вавшая постоянный приток мыслителей, которые могли посвятить себя поиску новых идей, не принимая во внимание непосред­ственную полезность. Действительно, такого стечения обстоя­тельств не превзойти, пожалуй, и в наши дни. Да, но греческие математики остановились на полуслове в алгебре несмотря на Диофанта; остановились в аналитической геометрии несмотря на Апполония; не продвинулись далеко в анализе бесконечно ма­лых несмотря на Архимеда. Я уже показывал, как отсутствие сим­вольной записи мешало развитию греческой математики. Страх бесконечности был почти в такой же степени сдерживающим фактором.

В методе исчерпывания, разработанном Архимедом, присут­ствовали все элементы, существенные для анализа бесконечно малых. Что касается современного анализа, то это не что иное, как теория бесконечных процессов, в основе которых лежит по­нятие предела. Точную формулировку этого понятия я оставляю до следующей главы. Здесь же достаточно сказать, что идея пре­дела, предложенная Архимедом, совпадала с идеей, использован­ной для развития математического анализа Ньютоном и Лейбни­цем; и эта идея оставалась практически в неизменном виде до времен Кантора и Вейерштрасса. В самом деле, исчисление преде­лов основано на том рассуждении, что две величины стремятся к равенству, если разность между ними может быть сколь угодно малой. И именно эта идея лежит в основе метода исчерпывания.

Более того, этот принцип обеспечивает практический метод для определения предела, заключающийся в ограничении пере­менной величины сверху и снизу двумя другими переменными, так что она оказывается как бы зажатой в тиски. Так, например, в случае длины окружности, о котором я уже говорил, Архимед «зажимал» длину окружности двумя последовательностями пра­вильных многоугольников со все увеличивающимся количеством сторон, из которых одну последовательность составляли вписан­ные в окружность многоугольники, а другую — описанные во­круг нее. И, как уже было сказано ранее, с помощью этого мето­да ему удалось показать, что число  заключено между значениями   и . Также при помощи этого метода он рассчитал, что площадь под дугой параболы равна двум третям площади прямоугольника с такой же шириной и высотой. Эта задача была предшественницей современного интегрального исчисления.

Да, по справедливости следует сказать, что Архимед был ос­нователем анализа бесконечно малых величин. По сравнению с интегральным исчислением восемнадцатого века методу исчер­пывания не хватало соответствующих символьных обозначений, а также позитивного — или я бы даже сказал наивного — отноше­ния к бесконечности. Никто из греков не последовал за Архиме­дом, и возможность исследовать богатые территории, открытые великим мастером, была оставлена другой эпохе. Когда после тысячелетнего оцепенения европейская мысль стряхнула усыпляющее влияние, столь мастерски насаждавшееся отцами Церкви, вопрос о бесконечности стал одним из первых, на которые вновь было обращено внимание.

Однако для этого оживления характерно полное отсутствие критической строгости, присущей древним грекам несмотря на то, что математики эпохи Возрождения почти во всем опирались на греческие источники. Развитие неточных приближенных мето­дов, введенных Кеплером и Кавальери, были продолжено, разве что с претензией на большую точность, Ньютоном и Лейбницем, а также Валлисом, придумавшим обозначение для бесконечности, братьями Бернулли, Эйлером и д’Аламбером.

Они обращались с бесконечно малыми величинами как с кон­стантами или как с переменными в зависимости от требований конкретной задачи; они как попало манипулировали бесконеч­ными последовательностями и жонглировали пределами; к рас­ходящимся последовательностям они относились, как если бы те удовлетворяли всем критериям сходимости. Свои понятия они определяли нечетко, методы использовали произвольно, а логи­ке их аргументов приходилось подчиняться велениям интуиции. Короче говоря, они нарушали все законы строгости и математи­ческих приличий.

Настоящий шабаш, который последовал за введением беско­нечно малых величин или, как их тогда называли, шЛ'ушМш, был вполне естественной реакцией. Интуицию слишком долго держали взаперти строгие ограничения греков. Теперь она выр­валась на свободу, и не было Евклида, чтобы сдержать ее роман­тический полет.

Можно разглядеть и еще одну причину. Необходимо помнить, что все блистательные умы того времени выросли на доктрине схоластики. «Дайте нам ребенка в возрасте до восьми лет, — гла­сит изречение иезуитов, - и его будущее само позаботится о себе». (То есть после этого ребенок останется иезуитом до конца своих дней. — Прим. пер.) Кеплер с неохотой начал заниматься астро­номией после того, как его надежды стать духовным лицом про­валились; Паскаль оставил математику, чтобы стать религиоз­ным отшельником; Декарт обуздывал свою симпатию к Галилею верой в авторитет Церкви; Ньютон в перерывах между работой над своими шедеврами писал трактаты по теологии; Лейбниц мечтал о таких структурах чисел, которые сделали бы мир безопас­ным для христианства. Для умов, воспитанных на логике рассуж­дений о Таинстве, Искуплении, Троице и Пресуществлении, обо­снованность бесконечных процессов была действительно ерундой.

Здесь можно привести достаточно задержавшееся возражение епископа Беркли, который спустя четверть века после обнародо­вания Ньютоном своей эпохальной работы об исчислении беско­нечно малых написал трактат, озаглавленный «Аналитик, или рассуждение, адресованное к неверующему математику». В ответ на соображение, что в религии слишком многое основано на вере, епископ возражал, указывая, что предпосылки в математике поко­ятся не на более прочном фундаменте. С неподражаемым искусст­вом и юмором он подверг доктрину бесконечно малых величин тщательному анализу и выявил множество неточных аргументов, неясных формулировок и вопиющих противоречий. Среди про­чего он также говорит о терминах «флюксия» и «разность»; и именно против них направляет острие своего блестящего ирлан­дского остроумия: «Тому, кто в состоянии переварить вторую или третью флюксию, второй или третий дифференциал, не следова­ло бы привередничать в отношении какого-либо положения в вопросах религиозных». (Имеется в виду насмешливое высказы­вание Эдмунда Галлея, чьим именем названа комета, о «непости­жимых доктринах христианства», которых придерживался Берк­ли. - Прим. пер.)

«Флюксии» Ньютона и «разности» Лейбница в наши дни на­зываются производная и дифференциал. Эти принципиальные по­нятия математических дисциплин вместе с аналитической гео­метрией развились в дифференциальное и интегральное исчисление и стали мощной движущей силой в становлении прикладных наук. Декарту мы обязаны созданием аналитической геометрии, а спо­ры по поводу того, кто же, Ньютон или Лейбниц, первым приду­мал математический анализ, продолжались в течение всего во­семнадцатого века и не вполне разрешены даже сейчас. А между тем, можно обнаружить, что принципы обеих дисциплин ясно очерчены в письме, которое Ферма адресовал Робервалю, дати­рованном 22 октября 1636 года, за год до появления «Геометрии» Декарта и за 68 лет до публикации «Принципов» Ньютона. Если бы не странная склонность Ферма не публиковать результаты своих исследований, то честь создания и аналитической геомет­рии, и математического анализа принадлежала бы этому Архиме­ду эпохи Возрождения и математический мир был бы избавлен от столетнего унижения грязных споров.

Суть принципов Ньютона можно проиллюстрировать на при­мере движения, которое, кстати, было первым субъектом приме­нения дифференциального исчисления. Рассмотрим частицу, дви­жущуюся по прямой линии. Если за равные промежутки времени частица проходит равные расстояния, то говорят, что частица движется равномерно, а расстояние, которое она проходит за еди­ницу времени, например за секунду, называют скоростью этого равномерногй движения. Предположим теперь, что расстояния, которые частица проходит в равные промежутки времени, не рав­ны, т.е. движение не является равномерным. Тогда скорость в том смысле, в котором мы только что использовали это слово, не определена. Но мы можем разделить весь путь, пройденный за определенный промежуток времени, на величину этого проме­жутка и назвать это отношение средней скоростью. Именно это отношение Ньютон назвал бы первоначальным отношением. Од­нако очевидно, что это значение зависит длины рассматриваемо­го интервала. Тем не менее можно заметить, что чем меньше интервал, тем больше значение скорости приблизится к какому- то определенному фиксированному значению... Мы получили пример последовательности, в которой с увеличением номеров элементов разность между двумя последующими элементами не­прерывно уменьшается и в конце концов два соседних элемента становятся неотличимыми. Давайте теперь представим себе (и такое представление подтверждается нашим интуитивным поня­тием о непрерывности пространства и времени), что мы продол­жаем уменьшение интервала времени бесконечно. Тогда, согласно Ньютону, наиболее отдаленный член этой последовательности (Ньютон его называл ultima ratio — последнее отношение) пред­ставляет собой скорость в точке начала интервала.

Сегодня мы говорим, что по определению скорость движущей­ся точки в любой момент времени - это предельное значение средней скорости, когда интервал времени, на котором средняя скорость вычисляется, уменьшается бесконечно (т.е. стремится к нулю). Во времена Ньютона формулировки были не столь точны.

Эти последние отношения Ньютон и называл флюксиями. Флюксия выражала скорость изменения переменной величины, такой как длина, площадь, объем, давление и т.д. Переменныевеличины Ньютон называл fluent. Жаль, что эти выразительные названия не сохранились, а вместо них появились нейтральные термины производная и функция. На латыни fluere означает течь; fluent - текущий, a fluxion - скорость течения.

Теория Ньютона имеет дело с непрерывными величинами, в ней также постулируется бесконечная делимость пространства и времени; в ней говорится о потоке и поток рассматривается как последовательность мгновенных рывков. Вследствие этого тео­рия флюксий была открыта для всей той критики, аргументы которой две тысячи лет назад были высказаны Зеноном. И веко­вая вражда между «реалистами», которые хотели, чтобы матема­тика шла на уступки грубой реальности человеческих чувств, и «идеалистами», настойчиво требовавшими, чтобы реальность при­спосабливалась к велениям разума, готова была возобновиться. Нужен был только новый Зенон, и Зенон появился в странном облике англиканского священнослужителя. Но предоставим сло­во Джорджу Беркли, позднее ставшему епископом в Клойне:

«Однако подобно тому как наши чувства напрягаются и ста­вятся в затруднительное положение при восприятии крайне ма­лых объектов, воображение (способность, производная от чувств) напрягается в еще большей степени и попадает в еще более за­труднительное положение, пытаясь выработать четкое представ­ление о мельчайших частицах времени или мельчайших прира­щениях, образованных за эти мельчайшие промежутки времени; и в гораздо большей степени ему приходится трудно, когда оно пытается постичь «моменты», или упомянутые приращения флю­ент, находящиеся в statu nascendi (в момент возникновения), в самом начале их образования или в начале существования, преж­де чем те становятся конечными частицами. Вероятно, еще более трудно представить себе абстрагированные скорости подобных зарождающихся несовершенных величин. Однако, если я не оши­баюсь, скорости скоростей, вторые, третьи, четвертые, пятые и т.д. скорости вообще находятся за пределами всего человеческо­го понимания. Чем больше ум анализирует и развивает эти не­уловимые идеи, тем больше он теряется и заходит в тупик; предме­ты, вначале мелькающие и крошечные, вскоре вообще исчезают из поля зрения. В каком бы смысле ни употреблять слова, вторая или третья флюксия, безусловно, представляются тайной, покры­той мраком. Начальная скорость начальной скорости, зарождаю­щееся приращение зарождающегося приращения, т.е. вещи не обладающие никаким значением, — рассмотрите это в каком угод­но свете и, если я не ошибаюсь, вы обнаружите, что составить об этом ясное понятие невозможно...

Великий автор метода флюксий чувствовал эту трудность и поэтому пустился во все эти изящные абстракции геометричес­кой метафизики, без которых, как он понимал, ничего нельзя сделать на основе общепринятых принципов... Правда, надо при­знать, что он использовал флюксии подобно лесам, использую­щимся при строительстве здания, которые нужно было отбро­сить в сторону или от которых нужно было избавиться, когда уже было найдено, что конечные линии пропорциональны этим флюк­сиям... А что такое эти флюксии? Скорости исчезающих прира­щений. А что такое эти самые исчезающие приращения? Они не есть ни конечные величины, ни величины бесконечно малые, но они и не нули. Разве мы не имеем права назвать их призраками исчезнувших величин?..

И с тем чтобы вы более ясно могли понять силу и направлен­ность изложенных выше замечаний и развить их еще дальше в своих собственных размышлениях, я ставлю в заключение следу­ющие вопросы...

Вопрос 64. Разве математики, столь чувствительные в вопро­сах религии, строго скрупулезны в своей собственной науке? Разве они не подчиняются авторитету, не принимают вещи на веру и не верят непостижимому? Разве у них нет своих собственных непостижимых тайн и, более того, своих непоследовательностей и противоречий?»

(Джордж Беркли. Сочинения. Перевод Е. С. Лагутина)

Что же вышло из всех этих остроумных разглагольствований Беркли? Обрушившись с критикой на несоответствие и непосле­довательность математической терминологии, он оказал матема­тике реальную услугу. В последующие десятилетия произошли значительные изменения. Такие термины, как первоначальный и последний, возникающий и рождающийся, текущий и флюксия, были изгнаны из употребления. Неделимые превратились в беско­нечно малые величины, название, сохранившееся до наших дней; бесконечно малая величина теперь стала просто переменной величиной, которая в пределе стремится к нулю. Медленно, но верно центральная идея предела стала доминирующей.

Если бы епископ Беркли появился через пятьдесят лет после написания «Аналитик!»> он не узнал бы ребенка, которого ругал, настолько благопристойным тот стал. Но был бы он удовлетво­рен? Кто угодно, только не Беркли! Острый глаз проницательно­го епископа тотчас заметил бы те же проступающие родимые пятна. То, против чего он возражал, было не столько недостаточ­ной выразительностью языка (хотя это также составляло часть его критики), но скорее тем, на что указывал Зенон, а именно несостоятельностью нового метода в удовлетворении нашего ин­туитивного предсталения о непрерывном как о чем-то сплош­ном, неделимом, о чем-то не имеющем из частей, потому что любая попытка разделить его на части приведет к разрушению самого анализируемо!» свойства.

И если бы мы напрягли воображение еще больше и предста­вили епископа, появившегося в наше время, то мы услышали бы от него те же самые возражения, те же самые уничтожающие обвинения. Но в нашем времени, к его удивлению и радости, он нашел бы в лагере противников мощную группировку тех, кто не только защищает его взгляды, но и приветствует его как первоот­крывателя.

Но об этом позже.

Между тем анализ продолжал развиваться, не обращая вни­мания на предостережния критиков, постепенно выдвигался на первое место, завоельзая новые области. Сначала геометрия и механика, затем оптика, акустика, распространение тепла и тер­модинамика, электричство и магнетизм и, наконец, законы Ха­оса попали под его неюсредственно правление.

Говорит Лаплас:

«Мы можем предствить себе настоящее состояние вселенной как следствие ее проидого и причину ее будущего. Ум, которому были бы известны да какого-либо данного момента все силы, одушевляющие природа, и относительное положение всех ее со­ставных частей, если 5ы вдобавок он оказался достаточно об­ширным, чтобы подчинить эти данные анализу, обнял бы в од­ной формуле движени величайших тел вселенной наравне с движениями мельчай них атомов; для такого ума не осталось бы ничего, что было бы дв него недостоверным, и будущее, так же как и прошедшее, прятало бы перед его взором».

И эта замечательная структура была создана математиками нескольких следующих столетий, которые не задумывались все­рьез о фундаменте, на котором она покоится. Разве не удиви­тельно, что несмотря на все произвольные рассуждения, смутные идеи и необоснованные обобщения было совершено так мало серьезных ошибок? «Шагайте вперед, и вера к вам придет»- воодушевляющий девиз д’Аламбера, с помощью которого он под­держивал мужество сомневающихся. И вдохновленные его сло­вами, они действительно продвигались вперед, руководствуясь в своих блужданиях чем-то вроде слепой веры в обоснованность бесконечных процессов.

Затем наступил период критики: Абель и Якоби, Гаусс, Коши и Вейерштрасс и, наконец, Дедекинд и Кантор подвергли всю структуру тщательному анализу, устраняя неясности и двусмыс­ленности. И что же стало конечным результатом этой реконст­рукции? Да, они признали негодной логику первооткрывателей, но полностью отстояли их веру.

Важность бесконечных процессов для практических нужд тех­нической цивилизации едва ли можно переоценить. Практичес­ки все приложения арифметики в геометрии, механике, физике и даже в статистике прямо или косвенно связаны с бесконечны­ми процессами. Косвенно, из-за широкого использования в этих науках иррациональных и трансцендентных чисел; прямо, пото­му что большинство фундаментальных понятий этих наук невоз­можно было бы сколько-нибудь точно определить без этих про­цессов. Изгоните бесконечные процессы, и математика, как чистая, так и прикладная, вернется к тому же состоянию, в кото­ром она была до Пифагора.

Наши представления о длине дуги кривой могут послужить отличной иллюстрацией. При этом физическое представление основывается на том, что кривая представляет собой изогнутую проволоку. Мы воображаем, что выпрямили проволоку, не растя­гивая ее; тогда длина отрезка прямой будет служить мерой длины дуги. Но что мы подразумеваем по словами не растягивая ее? Мы подразумеваем выпрямление без изменения длины. А это озна­чает, что мы уже знаем кое-что о длине этой дуги. Такая форму­лировка - это очевидный реШю рппари — круг в доказательстве - и не может служить математическим определением.

Альтернативой является вписывание в дугу последовательно­сти прямолинейных контуров, представляющих собой фрагмен­ты правильных многоугольников с увеличивающимся количеством сторон. Такая последовательность контуров стремится к пределу, и длина дуги определяется как предел последовательности.

И то, что верно для понятая длины, справедливо и для пло­щадей, объемов, масс, импульсов, давлений, сил, нагрузок и де­формаций, скоростей, ускорений и т.д. и т.д. Все эти понятия родились в «линейном» и «рациональном» мире, где ничего не за­нимало места и при этом было прямолинейным, плоским и од­нородным. Или нам придется отказаться от этих элементарных рациональных понятий, что будет означать настоящий перево­рот, поскольку эти понятия слишком глубоко укоренились в на­шем мозгу; или же мы должны приспособить рациональные по­нятия кмиру, который не является ни прямолинейным, ни плоским, ни однородным.   *

Но как можно плоское, прямое и однородное приспособить к тому, что является его полной противоположностью: к наклон­ному, изогнутому и неоднородному? Естественно, за конечное количество шагов это сделать невозможно! Чудо может совер­шить только волшебная бесконечность. Если мы решим придер­живаться элементарных рациональных понятий, у нас не будет другой альтернативы, кроме как считать «изогнутый» мир реаль­ности наших чувств самым последним в бесконечной последова­тельности плоских миров, который существует только в нашем воображении.

Чудо состоит в том, что это работает!